BAB 6 DISTRIBUSI NORMAL, F , T

d

DISTRIBUSI F

DISTRIBUSI T

tugas bab 5 statistika

 BAB 5 MOMEN, KEMIRINGAN DAN KURTOSIS

A.          Momen

             Misal diketahui variabel  X dengan harga X1, X2, X3 . . . .   Xn. Jika A sebuah bilangan tetap dan r = 0, 1, 2, 3,      maka momen di sekitar A disingkat m’rdidefinisikan oleh

Dengan 

 Untuk menghitung momen disekitar rata-rata, untuk data dalam daftar distribusi frekuensi, kita lakukan sebagai berikut:

TABLE  5.1: Table pembantu untuk mencari m

Data	f1	Ci	f1Ci	f1C12	f1C13	f1C14
60 – 63 64 – 67 68 – 71 72 – 75 76 – 70	5 18 42 27 8	-2 -1 0 1 2	-10 -18 0 27 16	20 18 0 37 42	-40 -18 0 27 64	80 18 0 27 128
Jumlah	100		15	97	35	253

Dapat dihitung :

Jadi Varian S² = m₂ = 15,16

B.Kemiringan

. 

Apabila distribusi yang secara relative mempunyai frekuensi kecil pada kelas  sebelum dan sesudah kelas yang ditengah,maka disebut distribusi menceng ataumiring (skewed). Kalau frekuensi pada keles tertinggi kecil dibandingkan dengankelas sebelumnya, maka disebut distribusi.Distribusi normal adalah distribusi dimana frekuensi kelas yang ditengahadalah tinggi, sedangkan frekuensi kelas-kelas sebelum dan sesudahnya adalahsama. Perbedaan frekuensi kelas ditengah dengan kelas-kelas sebelum dansesudahnya tersebut kadang-kadang terlalu tinggi, kadang-kadang sedang dankadang-kadang kecil. Sehingga kurvanya ada yang berbentuk leptokurtik,messokurtik, dan platikurtik. Perbedaan-perbedaan tinggi tersebut dapat pula diukurdengan suatu ukuran yang disebut dengan ukuran kurtosis

 

Kurva distribusi normal, yang tidak terlalu rucing atau tidak terlalu datar. Dinamakanmesokurtik,

kurva yang runcing dinamakan leptokurtik sedangkan yang datar disebutplatikurtik.

Salah satu ukuran kurtosis ialah koefisien kurtosis, diberi simbol a₄, ditentukan dengan rumus a₄ = (m₄/m)

Kriteria yang didapat dari rumus ini ialah:

 

a) a₄ = 3    à        Distribusi normal

b) a₄ > 3    à        Distribusi yagn leptokurtik

c) a₄ < 3     à        Distribusi yang platikurtik

Untuk mengetahui apakah distribusi normal atau tidak sering pula dipakai koefisien kurtosis persentil, diberi simbul:

  

Dimana K1 dan K3 telah kita hitung; K1 = 81,676 dan K3 = 61,75, adapun datanya telah disusun dalam daftar sebagai berikut:

No	Nilai Ujian	Fi
1 2 3 4 5 6 7	31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100	2 3 5 14 24 20 12
	Jumlah	80

TUGAS STATISTIKA BAB 4

PENGUKURAN PENYIMPANGAN

Pengukuran penyimpangan adalah suatu ukuran yang menunjukkan tinggi  rendahnya perbedaan data yang diperoleh dari rata-ratanya. Ukuran penyimpangan digunakan untuk mengetahui luas penyimpangan data atau homogenitas data. Dua variabel data yang memiliki mean sama belum tentu memiliki kualitas yang sama, tergantung dari besar atau kecil ukuran penyebaran datanya. Ada bebarapa macam ukuran penyebaran data, namun yang umum digunakan adalah standar deviasi.

Macam-macam ukuran penyimpangan data adalah :

1. Jangkauan (range)
2. Simpangan rata-rata (mean deviation)
3. Simpangan baku (standard deviation)
4. Varians (variance)
5. Koefisien variasi (Coefficient of variation)

1. Jangkauan (range)

Range adalah salah satu ukuran statistik yang menunjukan jarak penyebaran data antara nilai terendah (Xmin) dengan nilai tertinggi (Xmax). Ukuran ini sudah digunakan pada pembahasan daftar distribusi frekuensi. Adapun rumusnya adalah

Contoh : 
Berikut ini nilai ujian semester dari 3 mahasiswa
A = 60 55 70 65 50 80 40
B = 50 55 60 65 70 65 55
C = 60 60 60 60 60 60 60
Dari data diatas dapat diketahui bahwa
A = memiliki Xmax=80, Xmin= 40 , R = 40 , meanya 60
B = memiliki Xmax=70, Xmin= 50 , R = 20 , meanya 60
C = memiliki Xmax=60, Xmin= 60 , R = 0 , meanya 60
Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa :
a. Semakin kecil rangenya maka semakin homogen distribusinya
b. Semakin besar rangenya maka semakin heterogen distribusinya
c. Semakin kecil rangenya, maka meannya merupakan wakil yang representatif
d. Semakin besar rangenya maka meannya semakin kurang representatif
2. Simpangan Rata-rata (mean deviation)

Simpangan rata-rata merupakan penyimpangan nilai-nilai individu dari nilai rata-ratanya. Rata-rata bisa berupa mean atau median. Untuk data mentah simpangan rata-rata dari median cukup kecil sehingga simpangan ini dianggap paling sesuai untuk data mentah. Namun pada umumnya, simpangan rata-rata yang dihitung dari mean yang sering digunakan untuk nilai simpangan rata-rata.

• Data tunggal dengan seluruh skornya berfrekuensi satu

dimana xi merupakan nilai data

• Data tunggal sebagian atau seluluh skornya berfrekuensi lebih dari satu

dimana xi merupakan nilai data

• Data kelompok ( dalam distribusi frekuensi)

dimana xi merupakan tanda kelas dari interval ke-i dan fi merupakan frekuensi interval ke-i

Contoh :
Dari tabel diperoleh 


3. Simpangan Baku (standard deviation)

Standar deviasi merupakan ukuran penyebaran yang paling banyak digunakan. Semua gugus data dipertimbangkan sehingga lebih stabil dibandingkan dengan ukuran lainnya. Namun, apabila dalam gugus data tersebut terdapat nilai ekstrem, standar deviasi menjadi tidak sensitif lagi, sama halnya seperti mean.

Standar Deviasi memiliki beberapa karakteristik khusus lainnya. SD tidak berubah apabila setiap unsur pada gugus datanya di tambahkan atau dikurangkan dengan nilai konstan tertentu. SD berubah apabila setiap unsur pada gugus datanya dikali/dibagi dengan nilai konstan tertentu. Bila dikalikan dengan nilai konstan, standar deviasi yang dihasilkan akan setara dengan hasilkali dari nilai standar deviasi aktual dengan konstan.

Rumus Simpangan Baku untuk Data Tunggal

• untuk data sample menggunakan rumus

• untuk data populasi menggunkan rumus

Contoh :
Selama 10 kali ulangan semester ini sobat mendapat nilai 91, 79, 86, 80, 75, 100, 87, 93, 90,dan 88. Berapa simpangan baku dari nilai ulangan sobat?

Jawab
Soal di atas menanyakan simpangan baku dari data populasi jadi menggunakan rumus simpangan baku untuk populasi.
Kita cari dulu rata-ratanya
rata-rata = (91+79+86+80+75+100+87+93+90+88)/10 = 869/10 = 85,9

Kita masukkan ke rumus

Rumus Simpangan Baku Untuk Data Kelompok

• untuk sample menggunakan rumus

• untuk populasi menggunakan rumus

Contoh :
Diketahui data tinggi badan 50 siswa samapta kelas c adalah sebagai berikut

hitunglah berapa simpangan bakunya
1. Kita cari dulu rata-rata data kelompok tersebut

2. Setelah ketemu rata-rata dari data kelompok tersebut kita bikin tabel untuk memasukkannya ke rumus simpangan baku

4. Varians (variance)

Varians adalah salah satu ukuran dispersi atau ukuran variasi.  Varians dapat menggambarkan bagaimana berpencarnya suatu data kuantitatif.  Varians diberi simbol  σ² (baca: sigma kuadrat) untuk populasi dan untuk s² sampel.

Selanjutnya kita akan menggunakan simbol s²  untuk varians karena umumnya kita hampir selalu berkutat dengan sampel dan jarang sekali berkecimpung dengan populasi.

Rumus varian atau ragam data tunggal untuk populasi

Rumus varian atau ragam data tunggal untuk sampel

Rumus varian atau ragam data kelompok untuk populasi

Rumus varian atau ragam data kelompok untuk sampel

Keterangan:
σ² = varians atau ragam untuk populasi
S² = varians atau ragam untuk sampel
f_i = Frekuensi
x_i = Titik tengah
x¯ = Rata-rata (mean) sampel dan   μ = rata-rata populasi
n =  Jumlah data

5. Koefisien variasi (Coefficient of variation)

Koefisien variasi merupakan suatu ukuran variansi yang dapat digunakan untuk membandingkan suatu distribusi data yang mempunyai satuan yang berbeda. Kalau kita membandingkan berbagai variansi atau dua variabel yang mempunyai satuan yang berbeda maka tidak dapat dilakukan dengan menghitung ukuran penyebaran yang sifatnya absolut.

Koefisien variasi adalah suatu perbandingan antara simpangan baku dengan nilai rata-rata dan dinyatakan dengan persentase.

Besarnya koefisien variasi akan berpengaruh terhadap kualitas sebaran data. Jadi jika koefisien variasi semakin kecil maka datanya semakin homogen dan jika koefisien korelasi semakin besar maka datanya semakin heterogen.

 

DAFTAR PUSTAKA

http://vebrianaparmita.wordpress.com/2013/10/06/bab-vi-pengukuran-penyimpangan-range-deviasi-varian

Sudjana. (1991). In Statistika. Bandung: Tarsito.
http://www.smartstat.info/statistika/statisika-deskriptif/ukuran-penyebaran-measures-of-dispersion.html
http://rumushitung.com/2013/04/05/rumus-simpangan-baku/
http://digensia.wordpress.com/2012/03/15/statistik-deskriptif/
http://okemath.com/?page_id=394

 

bab 3 ukuran pemusatan

UKURAN PEMUSATAN

Salah satu aspek yang paling penting untuk menggambarkan distribusi data adalah nilai pusat data pengamatan (Central Tendency). Setiap pengukuran aritmatika yang ditujukan untuk menggambarkan suatu nilai yang mewakili nilai pusat atau nilai sentral dari suatu gugus data (himpunan pengamatan) dikenal sebagai ukuran pemusatan data (tendensi sentral). Terdapat tiga ukuran pemusatan data yang sering digunakan, yaitu:

• Mean (Rata-rata hitung/rata-rata aritmetika)
• Median
• Mode

1.     Rata – rata (mean)

Rata-rata hitung atau arithmetic mean atau sering disebut dengan istilah mean saja merupakan metode yang paling banyak digunakan untuk menggambarkan ukuran tendensi sentral. Mean dihitung dengan menjumlahkan semua nilai data pengamatan kemudian dibagi dengan banyaknya data.

Contoh 1

Hitunglah nilai rata-rata dari nilai ujian matematika kelas 3 SMU berikut ini: 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9

Jawab : 2+ 4+ 5+ 6+ 6+ 7+ 7+ 7+ 8+ 9      = 6,1

                                 10

Contoh 2

xi	fi
70	5
69	6
45	3
80	1
56	1

Catatan: Tabel frekuensi pada tabel di atas merupakan tabel frekuensi untuk data tunggal, bukan tabel frekuensi dari data yang sudah dikelompokkan berdasarkan selang/kelas tertentu.

Jawab:

xi	fi	fixi
70	5	350
69	6	414
45	3	135
80	1	80
56	1	56
Jumlah	16	1035

Mean = jumlah fi.xi

           Jumlah fi

Mean = 1035/16 = 64,6

2.    Median

Median dari n pengukuran atau pengamatan x₁, x₂ ,..., x_n adalah nilai pengamatan yang terletak di tengah gugus data setelah data tersebut diurutkan. Apabila banyaknya pengamatan (n) ganjil, median terletak tepat ditengah gugus data, sedangkan bila n genap, median diperoleh dengan cara interpolasi yaitu rata-rata dari dua data yang berada di tengah gugus data.

Berat badan	Frekuensi (fi)	Frekuensi kumulatif (fk)
46 – 50	3	3
51 – 55	2	5
56 – 60	4	9
61 – 65	5	14
66 – 70	6	20
71 – 75	4	24
76 – 80	1	25
81 - 85	1	26

Me = xii +n/2 – fki    p

                Fi

Batas bawah kelas interval (xii) = 60,5

Jumlah data (n) = 26

Frek kumulatif data sebelum kelas me = 9

Frek (fi) = 5

Panjang kelas (p) = 5

Jawab :

Me =60,5 +(26/2 – 9) . 5

                         5

       =60,5 + 4

       =64,5

3.    Modus

adalah data yang paling sering muncul/terjadi. Untuk menentukan modus, pertama susun data dalam urutan meningkat atau sebaliknya, kemudian hitung frekuensinya. Nilai yang frekuensinya paling besar (sering muncul) adalah modus.

Nilai statistik	Frekuensi
51 – 55	5
56 – 60	6
61 – 65	14
66 – 70	27
71 – 75	21
76 – 80	5
81 – 85	3

Mo = b +  p

b( kelas bawah kelas interval dengan frekuensi terbanyak) = 65,5

p ( panjang kelas interval ) = 5

b1( frek trbanyak – frek kelas sebelum mo) = 13

b2( frek terbanyak – frek kelas sesudah mo) = 6

Mo = 65,5 + 13     .  5

                 13+6

       = 65,5 + 13/19 .  5

        = 68,95

Sumber : catatan statistika , smartstat.info